Аффинная длина

Аффи́нная длина́ — параметр плоской кривой, который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях, сохраняющих площадь).

Содержание

Для плоской кривой он вычисляется по формуле

где обозначает векторное произведение, а и первую и вторую производную.

Аффинная длина графика функции задаётся как

$l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|f''(x)|} dx,$
Для кривой с натуральным параметром и кривизной

$l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|\varkappa(s)|} ds.$

Аффинная длина дуги параболы равна где S есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги.
Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной эллипсы (и только они) ограничивают наименьшую площадь.

Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп.

Л. Фейеш Тот, Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, М., Физматлит, 1958. — 364 с.