15-09-2023
В теории симметрии группой антисимметрии называется группа, состоящая из преобразований, которые могут менять не только геометрическое положение объекта, но также его некоторую двухзначную характеристику. Такой двухзначной характеристикой может быть, например, заряд (плюс-минус), цвет (чёрный-белый), знак вещественной функции, направление спина (вверх-вниз). Группы антисимметрии называются также группами магнитной симметрии, а также группами чёрно-белой симметрии. По аналогии с этими группами вводятся группы многоцветной симметрии (Беловские группы, так как они были предложены в работах академика Белова), в которых каждая точка объекта характеризуется уже не двухзначным, а многозначным параметром (цветом).
Содержание |
В дополнение к обычным операциям симметрии (вращение, отражение, инверсия, трансляция и их комбинации) добавляются операции антисимметрии - вращение с изменением цвета (антиповорот), отражение с изменением цвета (антиотражение), инверсия с изменением цвета (антиинверсия), трансляция с изменением цвета (антитрансляция) и так далее. Соответственно, можно говорить и об элементах антисимметрии, которые включают в себя операции антисимметрии. Следует также учитывать операцию, которая не меняет положение объекта, но меняет цвет — операция антиотождествления или антитождества. Группы, в которых присутствует такая операция, называются серыми, так как там в каждой точке пространства совпадают белая и чёрная часть объекта. Такие группы получаются просто добавлением операции антитождества к классической группе симметрии и их число равно числу классических групп симметрии. Сами классические группы симметрии также являются частным случаем групп антисимметрии. Наибольший интерес представляют группы, которые не являются серыми, и в которых присутствуют как элемены симметрии, так и элементы антисимметрии (группы смешанной полярности). Элементы антисимметрии в этих группах могут быть только чётного порядка, так как элементы антисимметрии нечётного порядка содержат операцию антиотождествления. Например, ось антисимметрии 3 (порядок 3) невозможна в этих группах, а инверсионная ось 3 (порядок 6) — возможна. Последовательное выполнение двух операций антисимметрии или 2n-кратное выполнение оодной операции антисимметрии дважды меняет знак, то есть в результате знак не меняется. Таким образом, произведение двух операций антисимметрии приводит к классической операции симметрии. Поэтому групп, которые содержат только элементы и операции антисимметрии, не существует. Более того, число операций (но не элементов) антисимметрии в точечных группах антисимметрии равно числу операций симметрии в классических (одноцветных) группах.
Хотя понятие антисимметрии применимо к любым точечным группам, обычно рассматривают здесь.
Классические | Серые | Смешанной полярности | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1' | |||||
1 | 11' | 1' | ||||
2 | 21' | 2' | ||||
m | m1' | m' | ||||
2/m | 2/m1' | 2/m' | 2'/m | 2'/m' | ||
222 | 2221' | 2'2'2 | ||||
mm2 | mm21' | m'm'2 | mm'2' | |||
mmm | mmm1' | m'm'm' | mmm' | m'm'm | ||
4 | 41' | 4' | ||||
4 | 41' | 4' | ||||
4/m | 4/m1' | 4/m' | 4'/m' | 4'/m | ||
422 | 4221' | 4'22' | 42'2' | |||
4mm | 4mm1' | 4m'm' | 4'mm' | |||
42m | 42m1' | 42'm' | 4'2m' | 4'2'm | ||
4/mmm | 4/mmm1' | 4/m'm'm' | 4/m'mm | 4'/mmm' | 4'/m'm'm | 4/mm'm' |
3 | 31' = 3' | |||||
3 | 31' | 3' | ||||
32 | 321' | 32' | ||||
3m | 3m1' | 3m' | ||||
3m | 3m1' | 3m' | 3'm' | 3'm | ||
6 | 61' | 6' | ||||
6 | 61' | 6' | ||||
6/m | 6/m1' | 6/m' | 6'/m' | 6'/m | ||
622 | 6221' | 62'2' | 6'2'2 | |||
6mm | 6mm1' | 6m'm' | 6'mm' | |||
6m2 | 6m21' | 6m'2' | 6'm2' | 6'm'2 | ||
6/mmm | 6/mmm1' | 6'/mmm' | 6'/m'mm' | 6/m'm'm' | 6/m'mm | 6/mm'm' |
23 | 231' | |||||
m3 | m31' | m'3' | ||||
432 | 4321' | 4'32' | ||||
43m | 43m1' | 4'3m' | ||||
m3m | m3m1' | m'3'm' | m'3'm | m3m' |
Чёрным цветом обозначены элементы симметрии. Красным — элементы антисимметрии.
4/m' |
|||||
---|---|---|---|---|---|
6/m' |
|||||
Всего существует 1191 чёрно-белых групп, 230 классических полярных групп, и 230 серых нейтральных групп. Итого, 1651 Шубниковская группа.
Число различных кристаллографических групп антисимметрии (в скобках дано число классических групп симметрии).[1][2]
периодичность | Размерность пространства | ||||
---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
0 | 2 (1) | 5 (2) | 31 (10) | 122 (32) | 1202 (271) |
1 | 7 (2) | 31 (7) | 394 (75) | ||
2 | 80 (17) | 528 (80) | |||
3 | 1651 (230) | ||||
4 | 62227 (4894) |
Группа антисимметрии.