Неравенство

О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.

В математике неравенство есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы (см. также Равенство).

Содержание

1 Типы неравенств
2 Решение неравенств второй степени
3 Решение неравенств методом интервалов
4 Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств
5 Знаки неравенства
6 Примечание
7 См. также

Типы неравенств

запись означает, что a меньше, чем b;
запись означает, что a больше, чем b.
запись означает, что a не равно b.

Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:

запись означает, что a меньше либо равно b;
запись означает, что a больше либо равно b.

Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:

запись означает, что a намного больше b.

Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,≠.

Неравенство называется точным если его нельзя улучшить.

Например является точным, а нет.

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:^[1]

алгебраические
трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство — алгебраическое, первой степени.

Неравенство — алгебраическое, второй степени.

Неравенство — трансцендентное.

Решение неравенств второй степени

Решение неравенства второй степени вида или можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Решение неравенств методом интервалов

Пусть у нас есть неравенство вида Для его решения нам необходимо:

разбить ось на интервалы знакопостоянства
поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (, если больше нуля, если меньше)
выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства

Крайними точками интервалов будут , и нули функций .

Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств

$\left[ \begin{matrix} \left\{\begin{matrix} f(x)>g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0\end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g(x)<0 \\ f(x) > 0\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Знаки неравенства

Русскоязычная традиция начертания знаков и отличается от принятой в англоязычной литературе.

Код в Юникоде	Название в Юникоде	Название	HTML шестн.	HTML десят.	HTML обозн.	LaTeX
U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше либо равно	⩽	⩽	отсутствует	\leqslant
U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше либо равно	⩾	⩾	отсутствует	\geqslant
U+2264	Less-than or equal to	Меньше либо равно	≤	≤	≤	\le, \leq
U+2265	Greater-than or equal to	Больше либо равно	≥	≥	≥	\ge, \geq