${\displaystyle \Omega _{0}=A+B}$ — Это неподписанное сообщение было добавлено участником 217.147.238.131 (обс · вклад) 20:28, 19 января 2006

Пусть ${\displaystyle M}$ — вполне упорядоченное множество, ${\displaystyle P(x)}$ при ${\displaystyle x\in M}$ — некоторое утверждение. Пусть для любого ${\displaystyle x\in M}$ из того, что ${\displaystyle P(y)}$ истинно для всех ${\displaystyle y<x}$ следует, что верно ${\displaystyle P(x)}$, и пусть верно утверждение ${\displaystyle P(x_{0})}$, если ${\displaystyle x_{0}}$ — минимальный элемент ${\displaystyle M}$. Тогда утверждение ${\displaystyle P(x)}$ верно для любого ${\displaystyle x}$.

Утверждение: "из того, что ${\displaystyle P(y)}$ истинно для всех ${\displaystyle y<x}$ следует, что верно ${\displaystyle P(x)}$" формализуется так: ${\displaystyle \forall y(y<x\rightarrow P(y))\rightarrow P(x)}$

Подставляем ${\displaystyle x=x_{0}}$ (минимальный элемент) и замечаем, что левая часть импликации - тождественная истина, т.е. утверждение в целом равносильно ${\displaystyle P(x_{0})}$. Таким образом, в утверждении: "для любого ${\displaystyle x\in M}$ из того, что ${\displaystyle P(y)}$ истинно для всех ${\displaystyle y<x}$ следует, что верно ${\displaystyle P(x)}$", уже содержится утверждение: "верно утверждение ${\displaystyle P(x_{0})}$, если ${\displaystyle x_{0}}$ — минимальный элемент ${\displaystyle M}$". epros 07:50, 10 августа 2010 (UTC)Ответить[ответить]