Однородная функция степени — числовая функция такая, что для любого и выполняется равенство:
причём называют порядком однородности.
Различают также
- положительно однородные функции, для которых равенство выполняется только для положительных ()
- абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
Свойства
- Если функция является многочленом от переменных, то она будет однородной функцией степени в том и только в том случае, когда — однородный многочлен степени , в частности в этом случае должно быть целым.
- Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена:
- Лемма Эйлера. Однородные функции пропорциональны скалярному произведению своего градиента на вектор своих переменных с коэффициентом равным порядку однородности:
Доказывается дифференцированием равенства (*) по при .
См. также