Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Формально говоря: если существует положительное число T>0, такое что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T). Наименьшее из этих чисел называется периодом функции.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Определение

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается  — вещественные числа с операцией сложения или  — комплексные числа). Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если  — период, то и любой элемент вида , где  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество периодов образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Действия с периодическими функциями

Являются неверными (существуют контрпримеры) утверждения относительно суммы периодических функций:

• Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами и является функция с основным периодом НОК (правда просто периодом это число будет являться. Например, у функции f(x)=sin(2x)-sin(3x) основной период , у функции g(x)=sin(3x) основной период , а у суммы f(x)+g(x)=sin(2x) основной период, очевидно, ).
• Не существует периодической функции, не равной константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа (например, у функции f(x), принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел, конечно, есть и несоизмеримые).
• Сумма 2 функций с несоизмеримыми периодами является непериодической функцией (например, функция f(x) из предыдущего примера, и функция g(x)=-f(x) имеют несоизмеримые периоды, но их сумма равна константе, а значит, является периодической функцией).

Примеры

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом , так как

• Функция, равная константе , является периодической, и любое число является её периодом. Основного периода не имеет.

• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое рациональное число. Основного периода так же не имеет.

• Функция является апериоди́ческой.

См. также

• Периодичность
• Квазипериодическая функция

Ссылки

• Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)