Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Определение

Пусть есть вероятностное пространство и  — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины . Пусть фиксировано . Тогда -квантилью (или квантилью уровня ) распределения называется число , такое что

Замечания

• Если распределение непрерывно, то -квантиль однозначно задаётся уравнением

где  — функция распределения .

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

Медиана и квартили

• 0,25-квантиль называется первым (или нижним) квартилем (от лат. quarta — четверть);
• 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым квартилем;
• 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем.

Интерквартильным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Дециль

Дециль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Перцентиль

-ой перценти́лью называют квантиль уровня . При этом обычно рассматривают перцентили для целых , хотя данное требование не обязательно. Соответственно, медиана является 50-й перцентилью, а первый и третий квартиль — 25-й и 75-й перцентилями.

В целом, понятия квантиль и перцентиль взаимозаменяемы, также, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Перцентили также называются процентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения

См. также

• Квантили нормального распределения;
• Квантили распределения Стьюдента;
• Квантили распределения хи-квадрат;
• Нормальное распределение;