Полукольцо — система множеств S, для которой выполнены следующие условия:

• ;
• ;
• .

Таким образом, полукольцо содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения и любое множество из полукольца представимо в виде конечного объединения дизъюнктных (попарно не пересекающихся) множеств, принадлежащих этому полукольцу. Полукольцо не замкнуто относительно объединения множеств.

Полукольцом с единицей называют полукольцо с таким элементом E, что его пересечение с любым элементом A полукольца равно A. Применяя метод математической индукции, можно расширить последний пункт определения: если множества являются элементами полукольца и подмножествами элемента A, то их можно дополнить непересекающимися элементами до A. Любое кольцо является полукольцом. Прямое произведение полуколец также является полукольцом.

Примеры полуколец

1. Полукольцо неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения
2. Тривиальное полукольцо:
3. Двухэлементные полукольца: , , где обозначает дизъюнкцию, а — логическую операцию «исключающее или» над множеством
4. Множество матриц с элементами из полукольца натуральных чисел и операциями матричного сложения и умножения
5. Множества натуральных чисел , целых чисел , рациональных чисел , положительных рациональных чисел , вещественных чисел и положительных вещественных чисел и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены

Свойства полуколец

Аксиоматическое определение полукольца впервые появилось в 1934 году в работе Вандовера. Вот это определение.

Непустое множество с бинарными операциями и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. — коммутативный моноид. То есть имеют место свойства:
   • Коммутативности: для любых
   • Ассоциативности: для любых
   • Существования нейтрального элемента (нуля): для любого
2. — полугруппа. То есть имеет место свойство:
   • Ассоциативности: для любых
3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:
   • Левая дистрибутивность: для любых
   • Правая дистрибутивность: для любых
4. Мультипликативное свойство нуля:
   • для любого

Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна: .

Полукольцо называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению (называемый единицей): .

Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) сократимым, если из равенства (или, соответственно, ) следует, что .

Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) идемпотентным, если для любого выполняется равенство (или, соответственно, ).

Примечания

См. также

• Алгебра

Ссылки