Определение

Пусть функция , и ее частные производные

определены в некоторой окрестности точки . Тогда предел

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции в точке и обозначается .

Аналогично определяется как

если он существует.

Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.

Обозначение

Свойства

• Обычно имеет место равенство . Более того, до определенного времени считалось, что это равенство выполняется всегда. Но это не так.

Пример Шварца

То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.

• Имеет место теорема о равенстве смешанных производных

Теорема Шварца

Пусть выполнены условия:

1. функции определены в некоторой окрестности точки .
2. непрерывны в точке .

Тогда , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

• Тем не менее, условие непрерывности смежных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.

Пример

смешанные производные второго порядка равны всюду, однако, разрывны в точке .