Общее линейное пространство

Пусть  — линейные пространства, а  — сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов, определенных на ). Тогда для любого линейного оператора и любого линейного функционала определён линейный функционал  — суперпозиция и : . Отображение называется сопряженным линейным оператором и обозначается .

Если кратко, то , где  — действие функционала на вектор .

Топологическое линейное пространство

Пусть  — топологические линейные пространства, а  — сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определенных на ). Для любого непрерывного линейного оператора и любого непрерывного линейного функционала определён непрерывный линейный функционал  — суперпозиция и : . Нетрудно проверить, что отображение линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также .

Банахово пространство

Пусть  — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство ^[1] и пусть  — сопряжённые пространства. Обозначим . Если  — фиксировано, то  — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что .

называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.

Для справедливы следующие свойства:

• Оператор  — линейный.
• Если  — линейный непрерывный оператор, то также линейный непрерывный оператор.
• Пусть  — нулевой оператор, а  — единичный оператор. Тогда .
• .
• .
• .
• .

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора равенство определяет сопряженный оператор . Здесь  — скалярное произведение в пространстве .

См. также

• Эрмитов оператор

Примечания

Литература

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
• Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.