Последовательность функций схо́дится почти́ всю́ду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, пренебрежимо мало.

Определение

Пусть пространство с мерой, и . Говорят, что сходится почти всюду, и пишут -п.в., если

.

Терминология теории вероятностей

Если есть вероятностное пространство, и — случайные величины, такие что

,

то говорят, что последовательность схо́дится почти́ наве́рное к .

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду (почти наверное).
• Пусть , где , и сходится почти всюду к . Пусть также существует функция такая, что для всех и почти всех (суммируемая мажоранта). Тогда , и в . Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в . Например, последовательность функций сходится к 0 почти всюду на , но не сходится в .
• Сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость по мере (по вероятности).

См. также

• Почти всюду