Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел , которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта . Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом [1] и немецким математиком Теодором Шнайдером [2] .
Формулировка
Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно)[3] :
Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел .
Пояснения
(
2
2
)
2
=
2
2
⋅
2
=
2
2
=
2.
{\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}
Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что
2
2
{\displaystyle {{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}
— трансцендентное число.
Следствия
Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант.
Постоянная Гельфонда-Шнайдера [en]
2
2
{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}
и уже упомянутый выше квадратный корень из неё:
2
2
.
{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.}
Постоянная Гельфонда
e
π
=
(
e
i
π
)
−
i
=
(
−
1
)
−
i
=
23.14069263
…
{\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots }
, а также
i
i
=
(
e
i
π
/
2
)
i
=
e
−
π
/
2
=
0.207879576
…
.
{\displaystyle i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0.207879576\ldots .}
См. также
Примечания
Sur le septième problème de Hilbert // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. — М. , 1934. — Вып. 4 . — С. 623—634 .
part 1, part 2 (диссертация).
↑ Фельдман .
Литература
Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. — М. : ГИТТЛ, 1952. — 224 с.
Трансцендентное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1985. — Т. 5.
Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. — М. : Изд-во МГУ, 1982. — 312 с.
Baker, Alan. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press , 1975. — ISBN 0-521-20461-5 .
Lang, Serge. Introduction to Transcendental Numbers. — Addison–Wesley, 1966. — ISBN 0-521-20461-5 .
Ссылки
Жуков А. Алгебраические и трансцендентные числа. Проверено 9 августа 2017.
Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа. Проверено 9 августа 2017.
A proof of the Gelfond–Schneider theorem
Hyun Seok, Lee. On Transcendence Theory with little history, new results and open problems. Проверено 9 августа 2017.
Waldschmidt, Michel (2001). ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric W. Gelfond-Schneider Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .