Теоре́ма Ги́льберта-Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

Формулировка теоремы

Для любого вполне непрерывного симметричного оператора в гильбертовом пространстве существует ортонормированная система собственных элементов, соответствующих собственным значениям оператора , такая, что для любого имеет место представление

причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора . Если их бесконечное число, то .

Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов

Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.

Для интегрального оператора , теорема переформулируется так: если функция истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро (т.е. , такая, что ), то ее ряд Фурье по собственным функциям ядра сходится абсолютно и равномерно на к этой функции:

где и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям .

См. также

Оператор Гильберта — Шмидта

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.