14-10-2023
Теорема Ферма-Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит[1]:
|
Нечётное простое число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда оно имеет вид . Иначе говоря: |
В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.
Примеры:
Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:
|
Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида входит в его разложение на простые множители в чётной степени. |
Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.
Содержание |
Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.
Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения.[2]
Одно из самых коротких доказательство придумано немецким математиком Доном Цагиром[3].
Теорема Ферма — Эйлера.