Смешанные уравнения (уравнения смешанного типа) — класс дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, являющихся гиперболическими в одной области пространства переменных и эллиптическими — в другой. Эти области разделены линией (или поверхностью), на которой уравнение относится к параболическому типу или не определено. По сравнению с уравнениями гиперболического, эллиптического и параболического типов, теория смешанных уравнений имеет сравнительно недолгую историю.

Впервые смешанные уравнения исследованы в случае двух независимых переменных итальянскими математиками Ф. Трикоми и М. Чибрарио. Простейший пример смешанного уравнения — так называемое уравнение Трикоми: , относящееся к гиперболическому типу в области и к эллиптическому типу — в области . Линия, состоящая из параболических точек смешанного уравнения (от двух переменных), называется линией смены типа или линией вырождения. Она является дискриминантной кривой уравнения характеристик. В случае уравнения Трикоми уравнение характеристик имеет вид, совпадающий с так называемой нормальной формой Чибрарио, и характеристики образуют семейство полукубических парабол, лежащих в гиперболической области с точками возврата на линии смены типа ().

Уравнения смешанного типа нашли многочисленные применения — например, в задачах, связанных с трансзвуковой газовой динамикой. В СССР уравнения смешанного типа изучались многими математиками, в частности, им уделялось большое внимание в школах М. А. Лаврентьева и А. В. Бицадзе.

См. также

• Дифференциальное уравнение в частных производных

Литература

• Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа, — Любое издание.
• Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.
• Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrali delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, — Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
• Лаврентьев М. А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа, — Докл. АН, 70:3 (1950), 373–376.
• Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа, — Любое издание.
• Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа, — Любое издание.
• Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике, — Изд. ЛГУ, 1990.
• Давыдов А. А., Росалес-Гонсалес Э. Полная классификации типичных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными на плоскости, — Докл. РАН, 350:2 (1996), 151–154.