Уравнение Швингера — Томонаги, в квантовой теории поля, основное уравнение движение^[1], обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей . Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:^[2]

где — плотность гамильтониана

— координата в пространстве Минковского . Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:^[3]

Пространственноподобные гиперповерхности определяются трёхмерным многообразием в , которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

являющийся времениподобным

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени.^[3] Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности координатами трёхмерного пространства , тогда точки могут быть представлены в виде . Таким образом, каждая точка имеет собственную переменную времени .

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку и варьированную гиперповерхность , отличную от лишь в некоторой окрестности точки . Через обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между и . Тогда функциональная производная произвольного функционала , приставляющем собой отображение из множестве гиперповерхностей в вещественные числа, определяется^[4] следующим образом^[5]

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как^[6]

где — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

где — упорядоченная по времени экспонента. — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

где — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости^[6], требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности :

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана . Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства определяется^[7] гладким однопараметрическим семейством

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей с тем свойством, что каждая точка принадлежит одной и только одной гиперповерхности :

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке как . Фиксированное расслоение порождает семейство векторов-состояний

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью и гиперповерхностью семейства, которое всецело лежит в будущем .

Пусть гиперповерхности могут быть определены неявным выражением

где — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

Для удобство нормируем функцию определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

где интегрирование выполняется по гиперповерхности . Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность,^[1] связанная с тем, что в формализме квантовой механики^[8] время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность .

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонага в 1946 году и Ю. Швингером в 1948 и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.

Примечания

Литература

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, Главной редакции физико-математической литературы, 1984. — 600 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
• Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем / Перевод с английского под редакцией Ю.И. Богданова. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
• Прохоров А. М. (ред.) Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.