Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

для векторной функции имеющей в некоторой точке все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций ).

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.^{[источник не указан 1014 дней]} По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.^{[источник не указан 1014 дней]}

• Часто используются следующие обозначения якобиана:

или

• Определитель Якоби обычно определён для случая m = n, то есть для квадратных матриц Якоби; для m ≠ n его можно считать нулём (в простейшей интерпретации матрица Якоби дописывается при этом нулями до квадратной).

Смысл и применение определителя Якоби

Если функции определяют преобразование координат , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов ^[1] «элементарных параллелепипедов», натянутых на и на при равенстве произведений .

Основные применения

1. Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
2. Равенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием вырожденности преобразования координат, а неравенство его нулю — необходимым и достаточным условием невырожденности.
3. Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат преобразуется как

(формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примечания

1. ↑ Здесь имеется в виду ориентированный объём. Отношение простых объёмов есть модуль определителя Якоби.

Ссылки

Применение в физике

• Техника Якобиана

• Вывод формулы Майера с применением техники Якобиана