Z-преобразование

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Содержание

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразование дискретного временного сигнала задаётся как:

где — целое, — комплексное число.

где — амплитуда, а — угловая частота (в радианах на отсчёт)

В случаях, когда определена только для , одностороннее Z-преобразование задаётся как:

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

где — контур, охватывающий область сходимости . Контур должен содержать все вычеты .

Положив в предыдущей формуле , получим эквивалентное определение:

Область сходимости представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых выполнено условие:

то есть сумма по членам преобразования является конечной.

Пусть . Раскрывая на интервале , получаем

Смотрим на сумму:

Поэтому, не существует таких значений , которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Обозначения:

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.