Дифференцируемое многообразие — топологическое пространство, наделенное дифференциальной структурой. Дифференциальные многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, что являются инвариантными относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. С другой стороны, использование той или иной структуры позволяет исследовать строение самого дифференциального многообразия. Простой пример — выражение характеристических классов через кривизну дифференциального многообразия, наделенного линейной связностью.

Определение

Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства , то X называется локальным евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности n. Пара , где  — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел , которые называются координатами в карте . Множество карт называется n-мерным  — атласом многообразия X, если:

• совокупность всех покрывает X,
• для любых таких, что , отображение:

является дифференцируемым класса ; является отражением, с отличным от нуля якобианом и называется преобразованием координат точки х с карты в карту

Два -атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует -атлас. Совокупность -атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые -структурами, при  — дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = a — аналитическими структурами.

Топологическое многообразие X, наделенное -структурой, называется -многообразием, или дифференцируемым многообразием класса .

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства более общих пространств или даже , где K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае соответствующая -структура, , непременно оказывается аналитической структурой, и называется комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее дифференцируемое многообразие — комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней -структура, и на -многообразии,, — -структура, если . Наоборот, любое паракомпактное -многообразие, , можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что -многообразие нельзя наделить -структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например число θ(n) -неизоморфных -структур на n-мерной сфере равно:

Отображение

Пусть - непрерывное отображение -многообразий X, Y; оно называется -морфизмом (или -отображением, , или отображением класса ) дифференцируемых многообразий, если для любой пары карт на X и на Y такой, что и отображение:

принадлежит классу . Биективное отображение f, если оно и f^-1 является -отображениями, называется -изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае X и Y и их -структуры называются -изоморфными.

Подмножества и вложения

Подпространство Y n-мерного -многообразия X называется - подмногообразием в размерности m в X, если для произвольной точки существуют ее окрестность и карта -структуры X, такие, что и индуцирует гомеоморфизм V на пересечении с (замкнутым) подпространством ; иными словами, существует карта с координатами , такая, что определяется соотношениями .

Отображение называется -вложением, если f(X) является -подмногообразием в Y, а - -диффеоморфизм. Любое n-мерное -многообразие допускает вложение в , а также в Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение дифференцируемых многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путем устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

См. также

• Многообразие
• Замкнутое многообразие
• Карта и атлас
• Диффеоморфизм

Ссылки

• О.Пришляк Дифференциальная геометрия : Курс лекций. - К.: Издательско-полиграфический центр "Киевский университет", 2004. - 68 с.

Литература

• Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
• Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
• де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
• Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
• Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
• Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
• Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
• Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;