Бра и кет (англ. bra-ket ← bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, вектором из проективного гильбертового пространства элементы (векторы) которого обозначаются как («кет-векторы»).

Каждому кет-вектору ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к то есть из

Бра-вектор из пространства определяется соотношением:

, для любого кет-вектора

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису или

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки

Линейные операторы

Если A : H → H — линейный оператор из H в H, то действие оператора A на кет-вектор записывается как

Для каждого оператора A и бра-вектора вводится функционал из пространства то есть бра-вектор, умноженный на оператор A, который определяется равенством:

для любого вектора

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто

Это выражение называется свёрткой оператора А с бра-вектором и кет-вектором Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора А в определённом базисе (в тензорных обозначениях — A_kl) записывается в обозначениях Дирака как а среднее значение наблюдаемой на состоянии  — как

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

где H — гамильтониан, а E — скаляр (уровень энергии).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору будет являться бра-вектор (где i — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N×1, бра-векторы — размера 1×N, операторы — размера N×N, где N — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ). Матрицы размера 1×1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

Запись типа всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева кет-вектор — скобку справа Вводится также произведение в «неестественном» порядке — (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор имеет ранг 1 и является тензорным произведением и Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор (при нормировке ) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в 

Имеет место ассоциативность:

и т. д.

Интересные факты

• На семинаре в Институте физических проблем во время выступления Дирака, Ландау переводил термины «бра» и «кет» как «ско» и «бка».

Литература

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.