Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

• Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).
• Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Происхождение термина

У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βασις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.

Элементарное введение: базис в евклидовой плоскости и пространстве

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

Обозначения

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

или

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).

или

— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

или

или, употребляя знак суммы :

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора в базисе (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Базис Гамеля

Базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть  — полная, а  — линейно независимая система векторов. Тогда система содержит набор векторов, дополняющий до базиса пространства .

Следствием этой леммы являются утверждения:

1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается ). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

Примеры

• Векторы пространства образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: .
• В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: .
• Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функция

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию . Пусть  — базис Гамеля множества действительных чисел над полем рациональных чисел . Тогда для каждого () положим . Функция линейна по построению, однако не может быть непрерывной, так как принимает только рациональные значения.

Базис Шаудера

Система векторов топологического векторного пространства называется базисом Шаудера (в честь Шаудера (англ.)), если каждый элемент разлагается в единственный, сходящийся к ряд по :

где  — числа, называемые коэффициентами разложения вектора по базису .

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций является базисом Шаудера в пространстве . В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций

 — банахово пространство с нормой . Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве , но не в . Шаудер сконструировал базис Шаудера для . Пусть  — плотное счетное множество точек на , , , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка , упорядоченными произвольным образом. Положим: ,  — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию так, чтобы при и . Точки разбивают на отрезок. Точка лежит строго внутри одного из них. Пусть это для каких-то (порядок нумерации чисел не соответствует их величине).

Положим:

вне отрезка

при

при

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений . Частичная сумма первых членов ряда

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией с узлами в точках ; формула для коэффициентов (см. Рис.)

Проблема базиса

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

Применение в кристаллографии

В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами^[1]:212-214. В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.

См. также

• Репер — близкое понятие для аффинного пространства.
• Ортогональный базис — специальный класс базисов (базисов Шаудера) для пространств со скалярным произведением (Гильбертово пространство).
• Базис Грёбнера
• Базис Рисса
• Конечномерное пространство
• Флаг (математика)

Примечания