Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Определения

Действие слева

Говорят, что группа действует слева на множестве , если задан гомоморфизм из группы в симметрическую группу множества . Для краткости часто записывают как , или . Элементы группы называются в этом случае преобразованиями, а сама группа — группой преобразований множества .

Другими словами, группа действует на множестве , если задано отображение . обозначаемое , такое что

1. для всех , и
2. , где — нейтральный элемент группы . Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа

Аналогично, правое действие группы на задается гомоморфизмом , где — инверсная группа группы . При этом часто используют сокращенное обозначение: . При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

Комментарии

• Любое правое действие группы — это левое действие группы . Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение ), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.

• Если множество снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение сохраняет эту структуру.
  • Например, если — топологическое пространство, то предполагается непрерывным (а, значит, автоморфизмом). Такое действие более точно называется непрерывным действием.

Типы действий

• Свободное, если для любых различных и любого выполняется .
• Транзитивное если для любых существует такой, что . Другими словами, действие транзитивно, если для любого элемента .
• Эффективное, если для любых существует такой, что .
• Вполне разрывное, если для любого компактного множества , множество всех , для которых пересечение непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделенных соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение двух топологических пространств. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

• Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом множестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
  • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.

Орбиты

Подмножество

называется орбитой элемента .

Действие группы на множестве определяет на нём отношение эквивалентности

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно , то

где попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия .

Стабилизаторы

Подмножество

является подгруппой группы и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента .

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если , то найдется такой элемент , что

Количество элементов в орбите

, — стабилизатор элемента и — индекс подгруппы , в случае конечных групп равен .

Если , то

— формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

3. лемма Бёрнсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, и гомоморфизм задан как .

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, .

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения на с гомоморфизмом заданым как .

Сопряжениями

Пусть и гомоморфизм задан как . При этом для каждого элемента стабилизатор совпадает с централизатором :

Например, для элемента из центра группы (то есть ) имеем и .

Вариации и обобщения

• Псевдогруппа преобразований

См. также

• Представление группы

Литература

• Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607.
• Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.