24-05-2023
Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.
В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.
В географии координаты — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). См. географические координаты.
В астрономии координаты — величины, при помощи которых определяется положение звезды, например, прямое восхождение и склонение.
Небесные координаты — числа, с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой систему полярных координат на сфере с соответствующим образом выбранным полюсом. Систему небесных координат задают большим кругом небесной сферы (или его полюсом, отстоящим на 90° от любой точки этого круга) с указанием на нём начальной точки отсчёта одной из координат. В зависимости от выбора этого круга системы небесных координат называлась горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической.
Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).
Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.
Содержание |
В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.
Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел :
В пространстве же необходимо уже 3 координаты :
В полярной системе координат положение точки определяется расстояние до центра координат и углом радиус-вектора с осью Ox.
Термин «полярные координаты» используется только на плоскости, в пространстве применяются цилиндрические и сферические системы координат.
Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем . В терминах декартовой системы координат,
Полярные координаты имеют один недостаток: значение θ теряет смысл, если r = 0.
Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение , тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = c
Сферические координаты — трехмерный аналог полярных
В сферической системе координат, расположение точки P определяется тремя компонентами: . В терминах декартовой системы координат,
Сферическая система координат также имеет недостаток: φ теряет смысл если ρ = 0, также и θ теряет смысл, если ρ = 0 или φ = 0 или φ = 180°.
Для построения точки по её сферическими координатами, нужно: от полюса отложить отрезок, равный ρ вдоль положительной z-оси, вернуть его на угол φ вокруг оси y в направлении положительной x-оси, и вернуть на угол θ вокруг z-оси в направлении положительной y-оси.
Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных вокруг точки. Так, уравнение сферы в декартовых координатах выглядит как , тогда как в сферических становится намного проще: .
В Европе принято использовать другие обозначения. Положение точки задаётся числами: , Где r — расстояние от точки до начала координат, — полярный угол, который изменяется в пределах от 0 до π, — Азимутальный угол, который изменяется в пределах от 0 до 2π. То есть, в европейской системе, которая применяется также и в России, обозначения для углов переставлены по сравнению с американской.
где u0 — функция Хевисайда с , а sgn — функция signum . Здесь функции u0 и sgn используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если .. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию atan2 (y, x), которая находит правильный θ в необходимом квадранте, определённом x и y.
Уравнения для американских обозначений
Координата.