Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Определение

Пусть  — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину :

.

Тогда , число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с степенями свободы и вероятностью «успеха» . Пишем: . Её функция вероятности задаётся формулой:

где  — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:

.

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения

• Пусть и . Тогда .
• Пусть и . Тогда .

Связь с другими распределениями

• Если , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
• Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где  — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .
• Если большое, а  — фиксированное число, то , где  — распределение Пуассона с параметром .

См. также

• Треугольник Паскаля
• Локальная теорема Муавра — Лапласа