Га́мма распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

где - гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и . Пишут .

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей гамма-распределение, имеют вид

,

.

Свойства гамма-распределения

• Если — независимые случайные величины, такие что , то

.

• Если , и — произвольная константа, то

.

• Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

.

• Если — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что , то

.

• Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

.

• Согласно центральной предельной теореме, при больших гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

при .

• Если — независимые случайные величины, такие что , то

.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то .

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

где U_i — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

1. Положить m равным 1.
2. Сгенерировать и — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
3. Если , где , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
4. Положить . Перейти к шагу 6.
5. Положить .
6. Если , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
7. Принять за реализацию .

Подытожим:

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); U_i и V_l распределены как указано выше и попарно независимы.