Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение

Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром , если её плотность имеет вид

.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно . Сам параметр тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины задана первым уравнением, и будем писать: .

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

,

откуда получаем все моменты:

.

В частности,

,

,

.

Отсутствие памяти

Пусть . Тогда .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение является частным случаем Гамма распределения:

.

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет Гамма распределение. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение с параметром — это частный случай распределения хи-квадрат:

.