Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .
1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:
- ,
в простейшем случае (евклидова норма):
где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).
2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:
- ,
где и .
Связанные определения
- Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
- Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
- Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.
Примеры
Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:
- размерности (вещественная прямая)
- размерности (евклидова плоскость)
- размерности (евклидово трехмерное пространство)
- Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.
Более абстрактный пример:
- пространство вещественных многочленов степени, не превосходящей , со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например )
Вариации и обобщения
См. также
Ссылки