Факторгуппа — конструкция дающая новую группу (факторгуппу) по группе и её нормальной подгруппе.

Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .

Определение

Пусть  — группа, и  — её нормальная подгруппа. Тогда на классах смежности в

можно ввести умножение:

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и , то . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .

Свойства

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма

,

то есть факторгруппа по ядру изоморфна её образу в .

• Отображение задаёт естественный гомоморфизм .
• Порядок равен индексу подгруппы . В случае конечной группы он равен .
• Если абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и будет обладать тем же свойством.
• изоморфна тривиальной группе (), изоморфна .

Примеры

• Пусть , , тогда изоморфна .

• Пусть (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), (группа верхних унитреугольных матриц), тогда изоморфна группе диагональных матриц.

Вариации и обобщения

• Фактормножество
• Факторкольцо
• Факторалгебра

Примечания

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.