Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа) — подгруппа особого типа, у которой левый и правый смежные классы совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения

Подгруппа группы называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента из и любого из , элемент лежит в :

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

1. Для любого из , .
2. Для любого из , .
3. Множества левых и правых смежных классов в совпадают.
4. Для любого из , .
5.  — объединение классов сопряженных элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры

• и  — всегда нормальные подгруппы . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа называется простой.

• Центр группы — нормальная подгруппа.

• Коммутант группы — нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

• Все подгруппы абелевой группы нормальны, так как . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика, подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства

• Нормальность сохраняется при сюрьективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
• Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если  — наименьший простой делитель порядка , то любая подгруппа индекса нормальна.
• Если  — нормальная подгруппа в , то на множестве левых (правых) смежных классов можно ввести групповую структуру по правилу

Полученное множество называется факторгруппой по .

• нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах .

Исторические факты

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6